使用Portfolio进行投资是一种有利于分散风险的投资方式。

如果我们要投资

当我有一笔钱在手，我希望进行投资来帮助我保值或者增值。 我们便可以开始思考，第一个想到的一定是结果：我要多赚，少亏。多赚意味着希望获得更高的收益，少亏意味着希望更小的风险。 接下来我们要想的就是：为了多赚少亏，我们该怎么办。这时候当我们抬起头观察市场上的产品，发现我们可以选择很多种投资方式，我们可以拿着钞票，可以存银行，可以买保险，还可以买股票、债券、期货、衍生品等等。那我们要买什么，这又是一个问题。

至此问题就可以总结成：我有一些钱，我需要选择进行一些投资，且这些投资的最终目的是获得更高的收益，更低的风险，我应该怎么做。

尝试分解问题

既然我们需要从产品中选择投资目标，那我们可以想两个问题：

1. 买什么: 关于买什么，显然我们既可以买一种也可以买多种。而买一种产品只是买多种产品的一个特殊情况。因此我们完全可以直接考虑我们可以买任意多种，那么问题就变成了我们应该买其中的哪些。

2. 买的目的是什么: 关于买的目的，正如前一段所说，我希望我选购的这些产品的收益高且风险低。诚然，如果任意选择两种组合方式，的确存在某一种相较于另一种收益也更高，风险也更低的情况。此时的选择非常自然也显而易见。但还有更多的组合情况两两相比，有的虽然收益高，但风险大而有的收益虽然低但风险也较小，在这样的情况下我们需要能够取舍。

那接下来的我们便需要把上面的这个过程量化。

如何进行量化

既然要开始量化，那么来了，我们应该用什么量来代表收益，什么来代表风险呢。

• 我们用历史数据中的收益率代表收益
• 我们用历史数据中的标准差代表风险

这一段就很神奇了，有三点值得疑问：

• 这个历史收益率是哪种收益率?
• 为什么历史数据中的方差就可以代表风险?
• 为什么可以用历史数据来衡量?

我的理解也很浅显：

• 收益率可以使用标准化之后的有效年收益率或者标准化后的某种收益率
• 方差代表了稳定性，方差越大稳定性越差，风险越大
• 中心极限定律告诉我们历史数据可以用来作为未来的参考（这一点我得好好理理）

接着我们用起最简单的数学工具：坐标轴。我们假设收益是y轴，我们假设风险（方差）是x轴。 当我们定下了这个坐标系，那么对于我们选定的任意一组投资组合，如果我们可以计算出这组投资组合的均值和方差，我们便可以在这个坐标系中定下一个点，代表了这个组合的风险和收益情况。而我们可以买到的任意组合，不过只是这坐标系中的一个点罢了。

既然每个组合只是这组坐标系下的一个点，那我们无非就是观察观察这些点在这个坐标系下的分布。找到我们希望的那个点。 这个时候问题又来了：

• 这些点是怎么分布的
• 哪些区域的点又是我们更喜欢的呢

我们更喜欢哪些点

我们先考虑下在这样一个坐标系中，我们更喜欢哪些点。毕竟如果我们不知道更喜欢哪种，就算研究明白了分布也是白搭。

如前所述，横坐标是风险，从左到右自小变大。纵坐标是收益，从下向上从小变大。 这时候我们很容易不假思索地再次说出我们已经说了很多遍的那句话：收益大，风险小。 所以总的来说约靠近左上角我们越喜欢。 这个时候一个重要的点来了，用更严谨的定义，如何表达：我们喜欢“收益大、风险小，在无法兼得的时候我可以做出取舍”的这个观点呢？

• Investors are risk averse
• They always prefer more to less
• They are able to rank different portfolios in the order of their preference

对应到坐标轴上的解释也很简单：

• 第一点：我们在坐标系中画一条平行于x轴的线，意味着落在这条线上的点收益都是一样的，那么我们更喜欢偏左一些也就是风险更低的点
• 第二点：我们在坐标系中画一条平行于y轴的线，意味着落在这条线上的点风险都是一样的，那么我们更喜欢偏上一些也就是收益更高的点
• 第三点：对于坐标系中的任意两点，我们是能够说出来我更喜欢其中的哪一个点的

这三点我们称之为：效用理论(Utility Theory)。 而效用理论其实帮助我们搞清了一件事：我们可以定义一组曲线，这组曲线可以覆盖整个坐标系。而这组曲线中的任意一条曲线，其中的每个点对我来说都是一样的。 这样的一条曲线我们称之为无差异曲线(Indifference Curve)。

这组曲线的数学描述便是效用函数如下所示。为什么效用函数可以写成这个形式呢（TBD）

\[U = E(r) - \frac{1}{2}A{\sigma}^{2}\]